向量与矩阵的概念与运算

定义2.1.1 数域K的定义

定义2.1.2 K上n维向量的定义

定义2.1.3 向量a与b相等

定义2.1.4 零向量和负向量

定义2.1.5 矩阵的定义

定义2.1.6 向量的加法运算

定义2.1.7 向量的数乘运算

定理2.1.1 向量运算的交换律、结合律、分配律

定义2.1.8 矩阵的加法运算和负矩阵

定理2.1.2 矩阵加法的交换律、结合律

定义2.1.9 矩阵乘法：只有A的列数和B的行数相等时，乘积AB才有意义

定理2.1.3 矩阵乘法的结合律、分配律

定义2.1.10 单位矩阵I：AI=IA=A

定义2.1.11 矩阵的k次幂

定义2.1.12 矩阵与向量的乘积

定义2.1.13 矩阵与标量的乘积

定理2.1.4 矩阵标量乘积的交换律、结合律、分配律

定义2.1.14 矩阵的初等行变换：

（1）数乘
（2）某一行数乘后加到另一行 （3）交换两行位置

定义2.1.15 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

定理2.1.5 对矩阵A进行初等行变换相当于左乘mm的初等矩阵，初等列变换相当于右乘nn的初等矩阵

定义2.1.16 可逆矩阵：AB=I则B是A的逆矩阵

定理2.1.6 矩阵的逆的性质

\((\boldsymbol{A B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}\) \(\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}\)

矩阵的逆没有分配律

定义2.1.17 矩阵等价：B可以由A经过一系列初等变换得到

定理2.1.7 矩阵可逆的充分必要条件是可以表示成一系列的初等矩阵的乘积

定理2.1.8 可逆矩阵可以通过一系列初等变换变成单位矩阵（一种求逆的方法）

定义2.1.18 矩阵转置的定义

定理2.1.9 矩阵转置的规律（满足分配律）

问题：如何求线性方程组？

（1）增广矩阵+初等行变换

（2）利用矩阵的逆